UNIDAD III. GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

TEMARIO

3.1 Introducción.
3.2 Variables aleatorias discretas.
3.3 Variables aleatorias continuas.
3.4 Métodos para generar variables aleatorias.
3.5 Procedimientos especiales.

 

MÉTODO DE GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS

Método Conguencial Mixto

Este genera una sucesión de números enteros aleatorios en el cual el proximo número pseudoaleatorio, es determinado a partir del último número generado, es decir, el número pseudoaleatorio Xn+1, es derivado a partir del numero pseudoaleatorio Xn. Para en caso particular del generador congruencial mixto, la relación de recurrencia es la siguiente: Xn+1 = (aXn + c) mod m, donde:

• Xo = la semilla (Xo > 0)
• a = el multiplicador (a > 0)
• c = constante aditiva (c > 0)
• m = modulo (m > Xo, m > 0 y m > c )

a = 5, c = 7, Xo = 4, m = 8

n	Xn	(5Xn + 7)/8	Xn+1	Números uniformes
0	4	27/8	3	3/8
1	3	22/8	6	6/8
2	6	37/8	5	5/8
3	5	32/8	0	0/8
4	0	7/8	7	7/8
5	7	42/8	2	2/8
6	2	17/8	1	1/8
7	1	12/8	4	4/8
8	4	-	-	-

a = 7, c = 7, Xo = 7, m =10

n	Xn	(5Xn + 7)/8	Xn+1	Números uniformes
0	7	56/10	6	6/10
1	6	49/10	9	9/10
2	9	70/10	0	0/10
3	0	7/10	7	7/10
4	7	-	-	-

a = 8, c = 16, Xo = 15, m =100

n	Xn	(5Xn + 7)/8	Xn+1	Números uniformes
0	15	136/100	36	36/100
1	36	304/100	4	4/100
2	4	48/10	48	48/100
3	48	400/100	0	0/100
4	0	16/100	16	16/100
5	16	144/100	44	44/100
6	44	368/100	68	68/100
7	68	560/100	60	60/100
8	60	496/100	96	96/100
9	96	784/100	84	84/100
10	84	688/100	88	88/100
11	88	720/100	20	20/100
12	20	176/100	76	76/100
13	76	624/100	24	24/100
14	24	208/100	8	8/100
15	8	80/100	80	80/100
16	80	656/100	56	56/100
17	56	464/100	64	64/100
18	64	528/100	28	28/100
19	28	240/100	40	40/100
20	40	336/100	36	36/100
21	36	304/100	4	-

 

Medios al cuadrado

Este algoritmo no congruencial requiere un numero entero denotador (llamado semilla) con D digitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D digitos del centro; el primer numero ri se determina simplemente anteponiendo el cero a esos digitos.

Para obtener el segundo r se sigue el mismo procedimiento, solo que ahora se eleva al cuadrado los d digitos del centro que se seleccionaron para obtener el primer r. Este método se repite hasta obtener n números r.

Pasos:

1. Seleccionar una semilla (Xo) con d digitos (D > 3).
2. Sea X0 = resultado de elevar Xo al cuadrado; sea X1 digitos del centro, y sea ri = 0, d digitos del centro.
3.    Sea yi = resultado de elevar Xi al cuadrado; sea Xi+1 = a los dígitos del centro, y sea ri = 0, d dígitos del centro para toda i = 1,  2, 3, …n.   
4.  Repetir el paso tres hasta obtener los n números ri deseados. 

NOTA: si no es posible obtener los D dígitos del centro del numero yi, agregue ceros a la izquierda del numero yi.

Generar los primeros 14 números a partir de 3825, con 4 digitos.

Número	Resultado
3825^2	14630625
6306^2	39765636
7656^2	58614336
6143^2	37736449
7364^2	54228496
2284^2	05216656
2166^2	04691556
6915^2	47817225
8172^2	66781584
7815^2	61074225
0742^2	00550564
5504^2	30305025
3050^2	09302500
3025^2	09150625

MÉTODO MULTIPLICATIVO

Para este generador se recomienda una selección adecuada para los valores de los parámetros a, Xo y m; con el fin de asegurar un periodo máximo para las sucesiones generadas por este método:

Número Decimal (sistema); los valores de los parámetros deben ser seleccionadas de acuerdo a los siguientes criterios:

•   El valor de la semilla puede ser cualquiera entero impar no divisible entre 2 o 5.
•   Debe ser relativamente primo a “m”.
•   El valor seleccionado de “a”, debe ser obtenido de acuerdo a la siguiente identidad; a = 200 t + p, donde “t”, es cualquier entero y “p” es cualquiera de los siguientes valores: 3, 11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 69, 77, 83, 91.
• El valor seleccionado de “m” puede ser 10^d. Si m es igual a 10 y d > = 5, el periodo del generador es 5 x 10 ^d-2.

Xn+1 = 3Xn mod 100 y  Xo = 17

n	Xn	aXn/m	Xn+1
0	17	51/100	51
1	51	153/100	53
2	53	159/100	59
3	59	177/100	77
4	77	231/100	31
5	31	93/100	93
6	93	279/100	79
7	79	237/100	37
8	37	111/100	11
9	11	33/100	33
10	33	99/100	99
11	99	297/100	97
12	97	291/100	91
13	91	273/100	73
14	73	219/100	19
15	19	57/100	57
16	57	171/100	71
17	71	213/100	13
18	13	39/100	39
19	39	117/100	17
20	17	-	-

PRUEBA DE POKER

0.06141(1P)     0.72484(1P)     0.94107(TD)     0.56766(T)     0.14411(TP)    0.01792(TD)    0.48999(T)      0.18590(TD)     0.06060(TP)     0.11223(2P)    0.52953(1P)    0.50502(2P)    0.30444(T)      0.70688(1P)      0.25357(1P)      0.04127(TD)   0.67347(1P)    0.28103(TD)    0.99367(1P)    0.44598(1P)      0.27813(TD)     0.62182(1P)     0.87648(1P)    0.64794(1P)   0.31555(T)      0.73997(2P)      0.09099(TP)

Categorías	Oi	Ep	Ei
(TD) Todos Diferentes	8	0.3014	9.042
(1P) Un Par	12	0.5040	15.120
(2P) Dos Pares	3	0.1880	3.240
(TP)Una Tercia y un Par	3	0.0090	0.270
(T)Tercia	4	0.0720	2.16
(P)Poker	0	0.0045	0.135
(Q)Quintilla	0	0.0001	0.003

CHI-CUADRADA

•         Se usa cuando se trabaja con variables nominales (categorías o grupos).

•         Responder la pregunta: si las frecuencias observadas, difiere de la frecuencia esperada.

•         Utiliza los recuentros.

EJEMPLO:

            Si 20 de 40  escolares varones con hipoidismo primario (por defecto) los niveles de TSH están elevados en suero y 5 de 38 varones normales muestran elevaciones similares.

HIPOTESIS NULA

Pacientes con la enfermedad no tienen niveles altos de TSH en suero.

KOLMOGOROV

Es una prueba estadísitca que sirve para determinar si un conjunto ri cumple la propiedad de uniformidad.

Es recomendable aplicarla en conjuntos pequeños, por ejemplo n<20.

—  Procedimiento es el siguiente:

1. Ordenar de menor a mayor los números del conjunto ri.
2. Determinar los valores de D+, D- y D con las siguientes ecuaciones.

Las fórmulas son:

Determinar el valor crítico D_α,n de acuerdo con la tabla de valores críticos de Kolmogorov-Smirnov par aun grado de confianza α, y según el tamaño de la muestra n.

3. Si el valor crítico D es mayor que el valor crítico D_α,n se concluye que los números del conjunto ri, no siguen una distribución uniforme. Caso contrario no existiría diferencia significativa.
4. D>Dan

EJEMPLO

Realizar la prueba, con un nivel de confianza de 90%, al siguiente conjunto ri de 10 números

 ri = (0.97, 0.11, 0.65, 0.26, 0.98, 0.03, 0.13, 0.89, 0.21, 0.69)

Ordenada es:

(0.03 – 0.11 – 0.13 – 0.21 – 0.26 – 0.65 – 0.69 – 0.89 – 0.97 – 0.98)

 De acuerdo a las tablas de valores para la prueba, el valor crítico correspondiente n = 10 es:

 D = 0.368, que resulta menor al valor D = 1.04, por tanto, se concluye que los números del conjunto ri no se distribuyen uniformemente

 D (1.04)> D_α,n (0.368) o hay uniformidad

PRUEBA DE INDEPENDENCIA

Las pruebas de independencia consiste en demostrar que los números generados son estadísticamente independientes entre si, esto es, que no dependen uno de otro. Para esto se propone la siguiente hipótesis:

·         HO : r  independiente

·         Hi

Dependiente

Para realizar esta prueba de hipótesis existen varios métodos, puede seleccionarse cualquiera de la siguiente lista:

•  Prueba de poker
•  Prueba de corridas arriba y abajo
•  Pruebas de corridas arriba y debajo de la media
•  Prueba de la longitud de las corridas
• Prueba de distancia
• Prueba de series
• Prueba de huecos

Autocorrelación

Mide la correlación entre los valores de la serie distanciados en un lapso de tiempo k. Se define como la correlación cruzada de la señal consigo misma. Resulta de gran utilidad.

PRUEBAS DE HUECO

Consiste en suprimir de un texto una serie de palabras seleccionadas en virtud que representan los aspectos que se requieren medir. La tarea del candidato es deducir, por el contexto, la palabra eliminada y rescribirla para determinar la palabra dada es correcta o incorrecta.

PRUEBA DE POKER

Examina en forma individual los dígitos del numero pseudo-aleatorio. La forma como esta prueba se realiza es tomando numeros decimales con 5 digitos a la vez y clasificándolos como; par, dos pares, tercia, poker, quintilla, y todos diferentes. La prueba poker se puede realizar con 2, 4 y 5 decimales.

Procedimiento:

·         Determinar la categoría de cada numero del conjunto ri

·         Contabilizar los numeros ri de la misma categoría o clase para obtener la frecuencia observada (Oi)

·         Calcular el estadístico de la prueba X^2n

·         Finalmente  comparar el estadístico de X^2º

PRUEBA DE Q DE YULE

Es una medida de asociación creada por el estadístico escoces George Udny Yule, se utiliza en cuadros estadísticos llamado contingencia.

Variables nominales

Restricciones:

·         Tener en cuenta que son numeros positivos, solo pueden tomar valores comprendidos entre cero y uno.

·         Cuando se acercan a un cero, indican independencia o asociación muy débil entre las variables.

MÉTODO DE MONTE CARLO

Se agrupan una serie de procediemientos que alcanzan distribuciones de variables aleatorias usando una simulación de numeros aleatorios. Da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. Se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explicito.

Fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos análiticos, para solucionar estos integrales se usaron numeros aleatorios. Posteriormente se utilizo para cualquier esquema que emplee numeros aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidos, para resolver problemas estocásticos y determiniticos.

MÉTODO DE COMPOSICIÓN

Genera valores de variables aleatorias no- uniformes usando también el método de composición, en la cual la distribución  de probabilidad f(x) se expresa como una mezcla de varias distribuciones de probabilidad f(x), seleccionadas adecuadamente.

Este procedimiento se basa en el objetivo de minimizar el tiempo de computación requerida para la generalización de valores de la variable aleatoria analizada.

También conocida como método mixto, permite generar variables aleatorias “x”, cuando estas provienen de una función de densidad fx que pueda expresarse como la combinación convexa de distribuciones de probabilidad fi(x).

Algunas de las distribuciones mas conocidas que pueden expresarse como una combinación convexa son: triangular, Laplace, y trapezoidal. Procedimiento general de generación es el siguiente:

1.  Calcular la probabilidad de cada una de las distribuciones fi(x)
2.  Asegurar que cada función fi(x) sea función de densidad
3.  Obtener mediante el método de la transformada inversa, las expresiones para generar variables aleatorias de cada una de las distribuciones fi(x)
4.  Genera un numero pseudoaleatorio ri que permita definir el valor de IA(x)
5.  Seleccionar la función generadora correspondiente a la función fi(x)
6. Generar un segundo numero pseudoaleatorio y sustituirlo en la funión generada anteriormente para obtener y.

PRUEBA DE BONDAD DEL AJUSTE

Cuando se realizan investigaciones, con frecuencias importante obtener información a través de una muestra. Algunos estudios producen resultados sobre los que no podemos afirmar que se distribuyen.

En estos casos debemos emplear técnicas no paramétricas que se utilizan ampliamente en las aplicaciones de las ciencias sociales, cuando se pueden asumir a priori que los datos de una muestra se ajusten a una distribución normal. Ahora nos ocuparemos del problema de verificar si de un conjunto de datos se pueden afirmar que proviene de que proviene.

Estadística No Parametrica

La estadística no paramétrica es una rama de la estadística las pruebas y modelos estadísticos cuya distribución subyacente no se ajuste a los llamados criterios paramétricos. Las pruebas paramétricas no asumen ningún parámetro de distribución de las variables muéstrales.

Las pruebas paramétricas asumen los parámetros de las variable (media y varianza) y un tipo de distribución normal.

Las pruebas no paramétricas no asumen ningún parámetro de distribución de las variables muestrales.

Para resolver este problema utilizaremos unas pruebas estadísticas que reciben el nombre general de pruebas de bondad de ajuste.

Este calculo de pruebas es sencillo, desde el punto de vista manual y matemático, sin embargo y siguiendo con nuestra practica, facilita el trabajo hacerlo con la hoja de calculo de Excel.

Prueba Fisher

Es la prueba estadística de elección cuando la prueba de Chi-cuadrada no puede ser empleada por tamaño muestral insufiente.

Prueba de Chi-Cuadrada

Se basa en la hipótesis nula (Ho) de que no hay diferencias significativas entre la distribución  muestral y la teoría. Mientras que la hipótesis alternativa (H1), siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta.

Estadístico de Prueba

El estadístico de prueba esta definido como la sumatoria de los residuos expresados en términos de las frecuencias esperadas para cada una de las clases.

Interpretación. Cuanto mayor sea el valor de , menos verosímil es que la hipótesis Ho sea correcto. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de Chi-cuadrada.

Si  = 0. La frecuencia teórica y observada concuerda exactamente.

Si  > 0. Mientras mayor es la diferencia mayor es la discrepancia.

En la practica: si Ho = 0 no existe diferencia significativa es la distribución de la frecuencia observada y la distribución teórica específicamente los mismos parámetros.

 

 

MÉTODO DE CONVOLUCIÓN

La distribución de la suma de dos o mas variables aleatorias independientes es llamada la convolución de las distribuciones de las variablesoriginales. El método de convolución es entonces la suma de dos variables aleatorias para obtener una variable aleatoria con la distribución de probabilidad deseada. Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y binomiales.

Antes de comenzar con el método, identifiquemos los valores de cada señal.

Una vez que tenemos identificados los valores de cada señal, comenzamos a resolver.

Primero, hacemos una tabla que contendrá:

•  Cantidad de columnas = cantidad de puntos a[n]+1
•  Cantidad de filas = cantidad de puntos de a[n]+ de puntos de b[n] 
• En el ejemplo que estamos realizando quedaría:
• Cantidad de columnas = 6+1 = 7
• Cantidad de filas = 6+4 = 10

Segundo, hay que llenar la tabla. En la primera fila, colocamos los valores de a[n]

Para calcular el elemento de y[0], tomamos en cuenta siempre la primera fila la que continue los elementos de a[n] y la fila correspondiente al elemento que estamos calculando.

Ejemplo: